faire le lien avec la logique, définir la notion d'application et utiliser celle-ci L'image réciproque de l'intervalle [1,2] par f est f?1([1,2]) = [1,
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Autrement dit, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle Page 5 Intervalles Il y a environ sept sortes d'intervalles Mais on
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L'élève doit être capable de : - Déterminer le plus grand sous-ensemble sur lequel deux fonctions coïncident Image directe, image réciproque d'un intervalle L
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43, boulevard du 11 novembre 1918 Déterminer les images réciproques suivantes : intervalles de R On suppose que f et g sont bornées
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Réciproquement, si x ? [a, b[ on a x
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Alors, elle est surjective si et seulement si son image f(E) est égale `a l'ensemble d'arrivée F Théor`eme 5 13 – Soit I = [a, b] un intervalle de R et une
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CONTINUITE DE LA FONCTION RECIPROQUE D'UNE FONCTION CONTINUE STRICTEMENT MONOTONE SUR UN INTERVALLE Niveau : Complémentaire Pré-requis : continuité –
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2 nov 2011 · 2 2 2 Image directe et image réciproque Tout intervalle de R contient un élément de l'intervalle [0,1] ” 3 ?p ? N, ?n ? Z, p ? n
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(iii) L'image réciproque par f d'un fermé de (Y ,d ) est un fermé de (X,d) intersection partielle finie est un intervalle de la suite) :
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La fonction f, représentée graphiquement ci-dessous, est définie et continue sur l'ensemble [1, 3] ? [4, 6] qui n'est pas un intervalle Son image, qui est {1}
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L’image par une fonction continue d’un intervalle ferm e born e est aussi un intervalle ferm e born e Autrement dit, sur un intervalle [a;b] de son domaine de d e nition, une fonction continue est born ee et atteint ses bornes Encore autrement dit L’image d’un intervalle [a;b] par une fonction continue est un intervalle ferm e born e
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2 Image d’un intervalle par une fonction continue Donnons d’abord un r´esultat utile lorsque l’on consid`ere la borne sup´erieure ou inf´erieure l d’un ensemble et une fonction continue au point l Proposition 27 2 Soit X une partie non vide de R qui poss`ede une borne sup´erieure (resp
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Si I n’est pas un intervalle et même si f est continue en tout point de I, l’image peut ne pas être un intervalle fI() • Le théorème n’énonce qu’une condition suffisante En effet, l’image d’un intervalle I par une fonction non continue sur I, peut être un intervalle • peut être réduit à un point
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Exposé 65 : Fonction reciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de Exemple Pre requis : - notion d’intervalle - bijection - continuité et derivabilité d’une fonction - theoreme des valeurs intermediaires dans tout l’exposé, I designe un intervalle non vide de On note C Im( ) l’ensemble des
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IV Fonction réciproque 1/ Définition Théorème fondamental : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I alors, - f(I) est un intervalle dont les bornes sont les limites des bornes de I - f réalise une bijection de I sur f(I) - La fonction réciproque de f, notée f -1, est strict monotone et de même sens que f
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Corollaire (image continue strictement monotone d’un intervalle) : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Alors f(I) est un intervalle Le tableau suivant donne la forme de f(I) en fonction de la forme de I et du sens de variation de f f strictement croissante sur I f strictement d´ecroissante sur I
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Ainsi tout élément y de l’intervalle image J = f(I) admet un antécédent unique x dans I Cela permet de définir la bijection réciproque de f, notée f –1, qui à chaque y de f(I) fait correspondre un x unique dans I, et cet x admet à son tour un antécédent unique y Ainsi y = f(x) ? x = f –1(y) x?I y?J
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